Mit den Differentiationsregeln befassen wir uns in den nächsten Abschnitten. Dabei sehen wir uns die verschiedenen Differentiationsregeln näher an, inklusive Beispiele. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.
In der Mathematik gibt es zahlreiche Differentiationsregeln. Und genau diese sehen wir uns nun an:
- Faktorregel
- Potenzregel
- Summenregel
- Produktregel
- Quotientenregel
- Kettenregel
Diese Differentiationsregeln werden im Mathematik-Unterricht der Oberstufe und auch im Studium behandelt.
Differentiationsregeln: Faktorregel + Potenzregel
Beginnen wir bei den Differentiationsregeln mit Faktorregel und Potenzregel. Ziel ist es, Funktionen bzw. Gleichungen wie zum Beispiel f(x) = y = x4 oder f(x) = y = 3x2 oder auch f(x) = y = 5x abzuleiten. Allgemein gilt: y = xn mit der Ableitung y' = n · xn-1. Ein Faktor bleibt dabei erhalten. Hier die allgemeine Anwendung der Faktorregel und Potenzregel, einige Aufgaben bzw. Beispiele folgen im Anschluss:
- Schreibt euch die Aufgabe in der Form y = ... auf
- Schreibt darunter y' =
- Schreibt die Hochzahl von x hinter y' =
- Schreibt dann das x hin
- Die Hochzahl für die Ableitung wird um eins reduziert.
- Der Faktor bleibt erhalten
Das klingt jetzt erst einmal etwas kompliziert. Die folgenden Beispiele verdeutlichen dies:
Tabelle nach rechts scrollbar
| y = f(x) | y' = f'(x) |
| x2 | 2x |
| x3 | 3x2 |
| x4 | 4x3 |
| 2x3 | 2 · 3 · x2 = 6x2 |
| 5x6 | 5 · 6 · x5 = 30x5 |
| 14 · x2 | 14 · 2 · x1 = 28x |
| 4x10 | 4 · 10 · x9 = 40x9 |
| 5x | 5 · x0 = 5 |
| 5 | 0 |
Wie die letzte Aufgabe zeigt: Die Ableitung einer Zahl - ohne x - ist stets Null. Geht alle Beispiele gründlich durch, dann sollten euch die Zusammenhänge klar werden.
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Differentiationsregeln: Summenregel
Kommen wir zur nächsten Differentiationsregel. Die Summenregel besagt: Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise abgeleitet werden. Auch dies lässt sich am besten anhand von einigen Aufgaben zeigen.
Tabelle nach rechts scrollbar
| y = f(x) | y' = f'(x) |
| x2 + x2 | 2x + 2x |
| 3x + 2x3 | 3 + 2 · 3 · x2 |
| 5x2 + 10x3 | 5 · 2x + 10 · 3x2 |
| 3x2 + 2x3 + 4x3 | 3 · 2x + 2 · 3x2 + 4 · 3x2 |
Differentiationsregeln: Produktregel
Mit den Differentiationsregeln zur Faktorregel und Summenregel haben wir uns bereits befasst. Als nächstes sehen wir uns die Produktregel an. Diese wird eingesetzt, wenn ein Produkt abgeleitet werden soll. Es folgt zunächst einmal die allgemeine Formel. Danach folgen Erklärungen und Aufgaben.
Differentiationsregel Produktregel: Ausführliche Schreibweise
Differentiationsregel Produktregel: Kurzschreibweise
Ihr müsst bei der Funktion oder Gleichung die abgeleitet werden soll einen Teil als u und den anderen Teil als v bezeichnen. Diesen jeweiligen Teil leitet ihr ab und setzt diese in die Gleichung von y' ein. Die folgenden Aufgaben zeigen euch dies:
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Differentiationsregel: Quotientenregel
Bleibt uns als nächste Differentiationsregel noch die Quotientenregel. Diese wird genutzt, wenn ihr einen Bruch ableiten wollt. Wie immer zunächst die allgemeine Regel, danach einige Erklärungen und Aufgaben.
Differentiationsregel Quotientenregel: Ausführliche Schreibweise
Differentiationsregel Quotientenregel: Kurzschreibweise
Den Zähler setzt ihr u, den Nenner setzt ihr v. Leitet diese dann jeweils ab und setzt dies in y' ein. Die folgende Aufgabe verdeutlicht dies:
Beispiel 1:
Und noch eine Aufgabe.
Beispiel 2:
Differentiationsregel: Kettenregel
Um Funktionen oder Gleichungen wie zum Beispiel y = sin (5x - 8) oder y = e4x abzuleiten, muss die Kettenregel eingesetzt werden. Man greift dabei auf eine so genannte Substitution zurück. Es gilt: Die Ableitung einer zusammengesetzten (verketteten) Funktion erhält man als Produkt aus äußerer und innerer Ableitung.
Aufgabe 1: y = ( 3x - 2 )8
- Substitution: u = 3x - 2
- Äußere Funktion = u8
- Äußere Ableitung = 8u7
- Innere Funktion = 3x -2
- Innere Ableitung = 3
- y' = 8u7 · 3 = 24u7
- mit u = 3x - 2 => y' = 24 ( 3x - 2 )7
Nochmal einmal als Text: Wir führen zunächst eine Substitution durch. Dabei bedeutet der Ausdruck Substitution allgemein das Ersetzen einer bestimmten Sache durch eine andere. In dem Fall ersetzen wir den Ausdruck 3x -2 durch die Variable "u". Anschließend bestimmen wir die innere und die äußere Funktion und bilden jeweils die Ableitung. Diese beiden Ableitungen werden nun miteinander multipliziert. Anschließend wird eine Rück-Substitution durchgeführt.
Aufgabe 2: y = 2 · sin ( 3x )
- Substitution: u = 3x
- Äußere Funktion = 2 · sin(u)
- Äußere Ableitung = 2 · cos(u)
- Innere Funktion = 3x
- Innere Ableitung = 3
- y' = 3 · 2 · cos(u)
- y' = 6 · cos(3x)
Auch hier wird die Klammer substituiert. Die innere und äußere Funktion wird ermittelt und jeweils die Ableitung gebildet. Danach wird die innere und die äußere Ableitung miteinander multipliziert und anschließend eine Rücksubstitution durchgeführt.
Aufgabe 3: y = e4x + 2
- Substitution: u = 4x + 2
- Äußere Funktion = eu
- Äußere Ableitung = eu
- Innere Funktion = 4x + 2
- Innere Ableitung = 4
- y' = eu · 4
- y' = e4x + 2 · 4
In diesem Fall wird der Exponent substituiert. Anschließend werden wieder innere und äußere Funktion ermittelt und abgeleitet. Wie immer erfolgt dann die Produktbildung aus innerer mal äußerer Ableitung , gefolgt von der Rücksubstitution.
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